Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1.

(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，求證：g(a)≥.

Answer 1

【答案】（1）見解析．（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）對函數(shù)進(jìn)行配方，根據(jù)對稱軸的位置對參數(shù)進(jìn)行分類討論，由此求得最大值和最小值，也即的表達(dá)式.（3）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此求得的最小值，以此證明不等式成立.

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)；

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線f(x)＝ax2－2x＋1開口向上，對稱軸為x＝，

故函數(shù)f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；

當(dāng)a<0時(shí)，拋物線f(x)＝ax2－2x＋1開口向下，對稱軸為x＝，

故函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．

(2)∵f(x)＝a2＋1－，

由≤a≤1得1≤≤3，∴N(a)＝f＝1－.

當(dāng)1≤<2，即<a≤1時(shí)，M(a)＝f(3)＝9a－5，

故g(a)＝9a＋－6；

當(dāng)2≤≤3，即≤a≤時(shí)，M(a)＝f(1)＝a－1，

故g(a)＝a＋－2.

∴g(a)＝

(3)證明：當(dāng)a∈時(shí)，g′(a)＝1－<0，

∴函數(shù)g(a)在上為減函數(shù)；

當(dāng)a∈時(shí)，g′(a)＝9－>0，

∴函數(shù)g(a)在上為增函數(shù)，

∴當(dāng)a＝時(shí)，g(a)取最小值，g(a)min＝＝.

故g(a)≥.