已知橢圓C的焦點為F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），焦點到短軸端點的距離為2
10
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設點P是橢圓C上的一點，且在第一象限．若△PF1F2為直角三角形，試判斷直線PF1與圓O：x2+y2=
5
2
的位置關系．
（1）由題意可得a=2
10
，c=5，
∴b2=a2-c2=15． 
∴橢圓C的方程為
x2
40
+
y2
15
=1．
（2）圓O：x2+y2=
5
2
的圓心為原點，半徑r=
10
2
．
①當∠PF2F1為直角時，點P的坐標為（5，
3
10
4
）．  
直線PF1的方程為y=
3
4
10
（x+5）．此時圓心到直線PF1的距離為
15
13
＜
10
2
．
∴直線PF1與圓O：x2+y2=
5
2
相交． 
②當∠F1PF2為直角時，設點P的坐標為（x，y）．聯(lián)立
x2
40
+
y2
15
=1
x2+y2=25
解得
x=4
y=3

∵點P的坐標為（4，3）．
則點P到橢圓右焦點（5，0）的距離為
10
．
 利用三角形的中位線定理可得圓心O到直線PF1的距離為
10
2
．
所以直線PF1與圓O：x2+y2=
5
2
相切．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），B是它的下頂點，F(xiàn)是其右焦點，BF的延長線與橢圓及其右準線分別交于P、Q兩點，若點P恰好是BQ的中點，則此橢圓的離心率是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
（2）當
FA
=λ
AP
時，求λ的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為原點，點F（1，0）是它的一個焦點，直線l過點F與橢圓C交于A，B兩點，且當直線l垂直于x軸時，OA•OB=
56
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得在橢圓C的右準線上可以找到一點P，滿足△ABP為正三角形．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，一個焦點為F(0，-
2
)，點M(1，
2
)在橢圓C上
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程
（Ⅱ）已知直線l：2x-y-2=0與橢圓C交于A，B兩點，求△MAB的面積
（Ⅲ）設P為橢圓C上一點，若∠PMF=90°，求P點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•通州區(qū)一模）已知橢圓C的焦點在y軸上，離心率為
2
2
，且短軸的一個端點到下焦點F的距離是
2
．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）設直線y=-2與y軸交于點P，過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．

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