Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x，其中a≥0．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值g（a）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）把a=2代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，進一步求出f（1）和f′（1），由直線方程的點斜式得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）由導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間（0，2）上的極值，和端點值比較后得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

解答： 解：（1）當a=2時，函數(shù)f（x）=x³-2x²-4x，
∴f'（x）=3x²-4x-4，
∴f'（1）=-5，f（1）=-5，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+5=-5×（x-1），
即5x+y=0；
（2）x∈[0，2]，f'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a），
令f'（x）=0，則x1=-

a

3

，x2=a．
①當a=0時，f'（x）=3x²≥0在[0，2]上恒成立，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（0）=0；
②當0＜a＜2時，在區(qū)間[0，a）上，f'（x）＜0，在區(qū)間（a，2]上，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，2]上單調(diào)遞增，且x=a是[0，2]上唯一極值點，
∴f（x）min=f（a）=-a3；
③當a≥2時，在區(qū)間[0，2]上，f'（x）≤0（僅有當a=2時f'（2）=0），
∴f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）min=f（2）=8-4a-2a2．
綜上所述，當0≤a＜2時，函數(shù)f（x）的最小值為-a³，a≥2時，函數(shù)f（x）的最小值為8-4a-2a²．
故g（a）=

-a3  (0≤a＜2) 8-4a-2a2  (a≥2)

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法．是壓軸題．