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設F1,F2分別為橢圓W:
x2
2
+y2
=1的左、右焦點,斜率為k的直線l經過右焦點F2,且與橢圓W相交于A,B兩點.
(Ⅰ)求△ABF1的周長;
(Ⅱ)如果△ABF1為直角三角形,求直線l的斜率k.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(Ⅰ)利用橢圓的定義,可求△ABF1的周長;
(Ⅱ)如果△ABF1為直角三角形,分類討論,利用韋達定理,即可求直線l的斜率k.
解答: 解:(Ⅰ)橢圓W的長半軸長a=
2
,左焦點F1(-1,0),右焦點F2(1,0),…(2分)
由橢圓的定義,得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,
所以△ABF1的周長為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4
2
.…(5分)
(Ⅱ)因為△ABF1為直角三角形,
所以∠BF1A=90°,或∠BAF1=90°,或∠ABF1=90°,
當∠BF1A=90°時,
設直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),…(6分)
由y=k(x-1),代入橢圓方程可得 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,…(7分)
所以x1+x2=
4k2
1+2k2
,x1x2=
2k2-2
1+2k2
.…(8分)
由∠BAF1=90°,得
F1A
F1B
=0,…(9分)
因為
F1A
=(x1+1,y1),
F1B
=(x2+1,y2),
所以
F1A
F1B
=(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0,…(10分)
解得k=±
7
7
.…(11分)
當∠ABF1=90°時,
則點A在以線段F1F2為直徑的圓x2+y2=1上,也在橢圓W上,
x2
2
+y2=1
x2+y2=1
解得A(0,1),或(0,-1),…(13分)
根據兩點間斜率公式,得k=±1,
綜上,直線l的斜率k=±
7
7
,或k=±1時,△ABF1為直角三角形.…(14分)
點評:橢圓的定義是解決橢圓問題的常用方法,直線與橢圓聯立,利用韋達定理是解決直線與橢圓位置關系問題的方法.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=x3-ax2-a2x,其中a≥0.
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a
=(x-
3
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=(x+
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a
|+|
b
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OM
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OA
+sinθ
OB
成立,試求出滿足條件的實數t的值.

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3
5
,π<θ<
2
,求(sin
θ
2
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θ
2
2的值.

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某電視臺為宣傳安徽,隨機對安徽15~65歲的人群抽取了n人,回答問題“皖江城市帶有哪幾個城市?”統(tǒng)計結果如圖表所示:
組號 分組 回答正確的人數 回答正確的人數占本組的頻率
第1組 [15,25) a 0.5
第2組 [25,35) 18 x
第3組 [35,45) b 0.9
第4組 [45,55) 9 0.36
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(1)分別求出a,b,x,y的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,求第2,3,4組每組各抽取多少人?

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寫出終邊在直線上角的集合y=
3
x上角的集合
 

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已知{an},{bn}都是等差數列,其前n項和分別是Sn和Tn,若
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,則
a8
b8
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