考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(Ⅰ)利用橢圓的定義,可求△ABF1的周長;
(Ⅱ)如果△ABF1為直角三角形,分類討論,利用韋達定理,即可求直線l的斜率k.
解答:
解:(Ⅰ)橢圓W的長半軸長a=
,左焦點F
1(-1,0),右焦點F
2(1,0),…(2分)
由橢圓的定義,得|AF
1|+|AF
2|=2a,|BF
1|+|BF
2|=2a,
所以△ABF
1的周長為|AF
1|+|AF
2|+|BF
1|+|BF
2|=4a=4
.…(5分)
(Ⅱ)因為△ABF
1為直角三角形,
所以∠BF
1A=90°,或∠BAF
1=90°,或∠ABF
1=90°,
當∠BF
1A=90°時,
設直線AB的方程為y=k(x-1),A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),…(6分)
由y=k(x-1),代入橢圓方程可得 (1+2k
2)x
2-4k
2x+2k
2-2=0,…(7分)
所以x
1+x
2=
,x
1x
2=
.…(8分)
由∠BAF
1=90°,得
•=0,…(9分)
因為
=(x
1+1,y
1),
=(x
2+1,y
2),
所以
•=(1+k
2)x
1x
2+(1-k
2)(x
1+x
2)+1+k
2=0,…(10分)
解得k=±
.…(11分)
當∠ABF
1=90°時,
則點A在以線段F
1F
2為直徑的圓x
2+y
2=1上,也在橢圓W上,
由
解得A(0,1),或(0,-1),…(13分)
根據兩點間斜率公式,得k=±1,
綜上,直線l的斜率k=±
,或k=±1時,△ABF
1為直角三角形.…(14分)
點評:橢圓的定義是解決橢圓問題的常用方法,直線與橢圓聯立,利用韋達定理是解決直線與橢圓位置關系問題的方法.