Question

18．如圖在棱臺(tái)ABC-FED中，△DEF與△ABC分別是邊長(zhǎng)為1與2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四邊形BCDE為直角梯形，BC⊥CD，CD=1，點(diǎn)G為△ABC的重心，N為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是側(cè)棱AF上的點(diǎn)且$\frac{AM}{AF}$=λ．
（1）檔λ=$\frac{2}{3}$時(shí)，求證：GM∥平面DFN；
（2）若三棱錐M-BDE的體積V_M-BDE=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）連AG延長(zhǎng)交BC于P，推出$\frac{AG}{AP}=\frac{2}{3}$，證明GM∥PF，然后證明NP∥AC，推出NP∥DF，進(jìn)一步證明GM∥平面DFN；
（2）由已知求出底面三角形BDE的面積，結(jié)合三棱錐M-BDE的體積求出M到底面的距離，由平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例可得λ的值．

解答 （1）證明：連AG延長(zhǎng)交BC于P，
∵點(diǎn)G為△ABC的重心，∴$\frac{AG}{AP}=\frac{2}{3}$，
又$\frac{AM}{AF}$=λ，∴$\frac{AG}{AP}=\frac{AM}{AF}=\frac{2}{3}$，
∴GM∥PF，
∵N為AB中點(diǎn)，P為BC中點(diǎn)，NP∥AC，又AC∥DF，
∴NP∥DF，得P、D、F、N四點(diǎn)共面，
∴GM∥平面DFN；
（2）解：∵BC=2，且P為BC中點(diǎn)，∴PC=1，
又CD=1，CD⊥CP，∴PD=$\sqrt{2}$，
在平行四邊形BPDE中，可得${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×sin135°=\frac{1}{2}$，
設(shè)M到平面BDE的距離為h，
∵V_M-BDE=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×h=\frac{\sqrt{3}}{9}$，得h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
又∵F到平面BDE的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A到平面BDE的距離為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{FM}{AF}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AM}{AF}=λ=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例的應(yīng)用，是中檔題．