Question

7．已知函數(shù)f（x）=cos（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單凋區(qū)間和圖象的對稱軸方程；
（2）已知銳角三角形的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若f（A-$\frac{π}{6}$）=2，BC=$\sqrt{7}$，sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．求AC的長．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得函數(shù)解析式為f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間，由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得函數(shù)的對稱軸方程．
（2）由（1）及f（A-$\frac{π}{6}$）=2，可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，可求范圍2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函數(shù)的圖象可得A=$\frac{π}{3}$，結(jié)合已知利用正弦定理即可解得AC的值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
可得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得函數(shù)的對稱軸方程為：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
（2）∵f（A-$\frac{π}{6}$）=sin[2（A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+1=sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴解得：2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：A=$\frac{π}{3}$，
又∵BC=$\sqrt{7}$，sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴由正弦定理可得：AC=$\frac{BC•sinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{7}×\frac{\sqrt{21}}{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理等知識的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．