Question

2．在直角坐標系xOy中，M（-2，0）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，A（ρ，θ）為曲線C上一點，B（ρ，θ+$\frac{π}{3}$），且|BM|=1．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）求|OA|²+|MA|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）B（ρ，θ+$\frac{π}{3}$），化為直角坐標：B$（ρcos（θ+\frac{π}{3}），ρsin（θ+\frac{π}{3}））$，利用|BM|=1，可得ρ²+4ρ$cos（θ+\frac{π}{3}）$+3=0，展開把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²代入即可得出．
（II）x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y+3=0配方為：（x+1）²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=1，可得圓心C，半徑r．得出點P（-1，0）到圓心C的距離d．A（ρ，θ）化為直角坐標A（x，y）．|OA|²+|MA|²=2[（x+1）²+y²]+2∈[2d²-1+2，2d²+1+2]．

解答 解：（I）B（ρ，θ+$\frac{π}{3}$），化為直角坐標：B$（ρcos（θ+\frac{π}{3}），ρsin（θ+\frac{π}{3}））$，
∵|BM|=1，∴$\sqrt{[ρcos（θ+\frac{π}{3}）+2]^{2}+[ρsin（θ+\frac{π}{3}）]^{2}}$=1，化為：ρ²+4ρ$cos（θ+\frac{π}{3}）$+3=0，展開：ρ²+$4ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$+3=0，
化為直角坐標方程：x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y+3=0．
（II）：x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y+3=0配方為：（x+1）²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=1，可得圓心C$（-1，\sqrt{3}）$，半徑r=1．
點P（-1，0）到圓心C的距離d=$\sqrt{3}$．
A（ρ，θ）化為直角坐標A（x，y）．
∴|OA|²+|MA|²=x²+y²+（x+2）²+y²=2[（x+1）²+y²]+2∈[2×3-1+2，2×3+1+2]，即|OA|²+|MA|²∈[7，9]．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、點與圓的位置關系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．