Question

14．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$P（2，\sqrt{2}）$，一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{2}$，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)$P（2，\sqrt{2}）$，一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）$由\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.得：（1+2{k^2}）{x^2}+4kmx+2{m^2}-8=0$，利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件，能求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$P（2，\sqrt{2}）$，一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\\{c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，c=2，…（3分）
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$由\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.得：（1+2{k^2}）{x^2}+4kmx+2{m^2}-8=0$…（5分）
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，即m²＜8k²+4…（6分）
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，…（7分）
y₁y₂=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=$\frac{2{k}^{2}{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{{k}^{2}}_{\;}}$，…（8分）
∵${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{2}$，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{2{m}^{2}-8}$=-$\frac{1}{2}$，
∴4m²-16k²=8，即m²=4k²+2，故4k²+2＜8k²+4，
解得k∈R…（9分）
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{3{m^2}-8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$=$\frac{{4{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}=2-\frac{4}{{2{k^2}+1}}$，…（11分）
$故\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}的取值范圍為[-2，2）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．