Question

橢圓x²+

y2

a2

=1（0＜a＜1）上離頂點A（0，a）距離最遠的點恰好是另一個頂點A′（0，-a），則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意設出橢圓上點的參數坐標，寫出兩點間的距離公式，配方后由函數取得最大值的條件可得

a2

1-a2

≥1，從而求得a的取值范圍．

解答： 解：設P（cost，asint）是橢圓上任一點，
則|PA|=

cos2t+a2(1-sint)2

=

1-sin2t+a2-2a2sint+a2sin2t

=

-(1-a2)[sint+ a2 1-a2 ]2+ a2 1-a2

．
∵最遠的點恰好是另一個頂點（0，-a），
∴當cost=0，sint=-1時取最大值．
則

a2

1-a2

≥1，即a²≥1-a²，解得：a≤-

2

2

或a≥

2

2

．
∴a的取值范圍為

2

2

≤a＜1．
故答案為：

2

2

≤a＜1．

點評：本題考查了橢圓的參數方程，考查了函數取得最值的條件，訓練了利用配方法求函數的最值，是中檔題．