Question

已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，當(dāng)x∈R時(shí)f（x）≥2x恒成立，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f（x）的最小值？

Answer 1

分析：由f（-1）=-2，得出a與b的關(guān)系，f（x）≥2x恒成立，即x²+xlga+lgb≥0，對(duì)x∈R恒成立，由判別式小于
或等于0解出a與b的值，進(jìn)而得到f（x）解析式，由解析式求f（x）的最小值．

解答：解：由f（-1）=-2，得：f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，解之得：lga-lgb=1，
∴

a

b

=10，a=10b．
又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x²+（lga+2）x+lgb≥2x，即x²+xlga+lgb≥0，對(duì)x∈R恒成立，
由△=lg²a-4lgb≤0，故得（1+lgb）²-4lgb≤0
即（lgb-1）²≤0，只有l(wèi)gb=1，不等式成立．
即b=10，∴a=100．
∴f（x）=x²+4x+1=（2+x）²-3
當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）_min=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用條件求函數(shù)解析式，函數(shù)恒成立問題及求函數(shù)最值問題，屬于中檔題．