Question

已知二次函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象過點(diǎn)（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)求函數(shù)y=f（log₂x），x∈[2，16]的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)二次函數(shù)f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0），將（0，-3）代入即可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)t=log₂x，由x∈[2，16]⇒t∈[1，2]，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得其最大值．

解答：解（Ⅰ）由題意可設(shè)二次函數(shù)f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0）---------------------------（2分）
當(dāng)x=0時，y=-3，即有-3=a（-1）（-3），
解得a=-1，f（x）=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3，
∴f（x）的解析式為f（x）=-x²+4x-3．-----------（6分）
（Ⅱ）設(shè)t=log₂x，∵x∈[2，16]，
∴t∈[1，4]，
y=f（log₂x）=-lo

g

2 2

x+4log₂x-3=-t²+4t-3，-----------------------（7分）
∴在t∈[1，2]上為增函數(shù)，
∴在t∈[2，4]上為減函數(shù)，-----------------------------------------------（8分）
∴t=2即x=4時，y_最大=1---------------------------------------------（10分）
∴t=4即x=16時，y_最小=-3-------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的解析式，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．