Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l₁：y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l：y=x+m（m≠0）與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|=|PB|，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于拋物線C與直線l₁：y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8．可得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-8），代入y²=2px．即可解出p．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y2=8x y=x+m

，化為y²-8y+8m=0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，由題意可知OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，解出即可．

解答： 解：（1）∵拋物線C與直線l₁：y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8．
∴直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-8），代入y²=2px．
∴2p=8，
∴拋物線方程為y²=8x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y2=8x y=x+m

化為y²-8y+8m=0，
△=64-32m＞0，
∴m＜2．
y₁+y₂=8，y₁y₂=8m，
∴x₁x₂=

(y1y2)2

64

=m²．
由題意可知OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=m²+8m=0，
∴解得m=-8或m=0（舍），
∴m=-8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．