Question

已知F（X）是奇函數(shù)，且有f（x+1）=-

1

f(x)

，當x∈（0，

1

2

）時，f（x）=8^x．
（1）求f（-

1

3

），f（

2

3

），f（

5

3

）的值；
（2）當2k+

1

2

＜x＜2k+1，（k∈Z）時，求f（x）的解析式；
（3）是否存在k∈N^*，使2k+

1

2

＜x＜2k+1時，不等式log₈f（x）＞x²-（k+3）x-k+2有解？若存在，求出k的值及對應的不等式的解；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）f（x）是奇函數(shù)，f（x+1）=-

1

f(x)

，求出函數(shù)的周期，通過已知條件轉(zhuǎn)化求解f（-

1

3

），f（

2

3

），f（

5

3

）的值．
（2）通過函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性，求出x∈(

1

2

，1)時，函數(shù)的解析式，即可求解x∈(2k+

1

2

，2k+1)時，的解析式．
（3）利用（2）函數(shù)的解析式f（x）=8^x-2k-1，轉(zhuǎn)化不等式log₈f（x）＞x²-（k+3）x-k+2為x-2k-1＞x²-（k+3）x-k+2，推出x²-（k+4）x+k+3＜0，求出x 的范圍，驗證①當k=1時，

5

2

＜x＜3；②當k=2時，

9

2

＜x＜5；③當k＞2時，不等式無解．

解答： 解：（1）f（x）是奇函數(shù)，且有f（x+1）=-

1

f(x)

，
f（x+2）=-

1

f(x+1)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
所以函數(shù)的周期為2，
當x∈（0，

1

2

）時，f（x）=8^x．
f（-

1

3

）=-f（

1

3

）=-8

1

3

=-2；
f（

2

3

）=-

1

f(- 1 3 )

=-

1

-2

=2；
f（

5

3

）=f（2-

1

3

）=f（-

1

3

）=-2；       …（4分）
（2）由f（x+1）=-

1

f(x)

，f（x+2）=-

1

f(x+1)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
所以f（x）是以2為周期的奇函數(shù)．…6分
現(xiàn)考慮x∈(

1

2

，1)時，f（x）=-f（-x）=-（-

1

f(-x+1)

）=

1

f(1-x)

=8^x-1，…（8分）
則：x∈(2k+

1

2

，2k+1)時，f（x）=f（x-2k）=8^x-2k-1        …（10分）
（3）∵2k+

1

2

＜x＜2k+1，∴f（x）=8^x-2k-1，
代入得：x-2k-1＞x²-（k+3）x-k+2，
⇒x²-（k+4）x+k+3＜0
⇒1＜x＜k+3，驗算可知：…（13分）
①當k=1時，

5

2

＜x＜3；
②當k=2時，

9

2

＜x＜5；
③當k＞2時，不等式無解；…（16分）

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，抽象函數(shù)的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．