Question

已知函數(shù)f（x）=1-cosx（0＜x＜

π

2

）．數(shù)列{a_n}滿足：0＜a₁＜

π

2

，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求證：0＜a_n＜

π

2

（n∈N^*）；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）利用數(shù)學歸納法即可證明：0＜a_n＜

π

2

（n∈N^*）；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）①當n=1時，顯然成立，
②假設n=k時，0＜a_k＜

π

2

，則cosa_k∈（0，1），
∴a_k+1=1-cosa_k∈（0，1），
∴當n=k+1時，原不等式成立，
由①②可知0＜a_n＜

π

2

（n∈N^*）；
（Ⅱ）要證數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，即證a_n+1＜a_n，
即證f（a_n）＜a_n，
即1-cosa_n＜a_n，
令g（x）=x+cosx-1，0＜x＜

π

2

，
g′（x）=1-sinx＞0，
∴g（x）=x+cosx-1在0＜x＜

π

2

上單調(diào)遞增，
∴當x＞0時，g（x）＞g（0）=0，
即x＞1-cosx，0＜x＜

π

2

，
∴1-cosa_n＜a_n，
即數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應用，利用數(shù)學歸納法是解決不等式的基本方法，綜合考查了函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系．