Question

已知函數(shù)r（x）=lnx，函數(shù)h（x）=

1

a

(1-

1

x

)(a＞0)，f(x)=r(x)-h(x)．
（Ⅰ）試求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為1．首項(xiàng)為l的等差數(shù)列，數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：當(dāng)a=1時(shí)，S_n-2＜f（n）-

1

n

＜Sn-1-1(n∈N*，n≥2)．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)列與不等式的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，若f（x）在x∈[1，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）≥0恒成立，即a≥(

1

x

)max，利用（1）的結(jié)論求得結(jié)論；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-1-lnx，利用導(dǎo)數(shù)證得lnx＜x-1，所以x∈（1，+∞）時(shí)，ln

x+1

x

＜

x+1

x

-1=

1

x

，又由（Ⅱ）可得
f（x）＞f（1），所以

1-x

x

+lnx＞0，即lnx＞1-

1

x

，所以ln

x+1

x

＞1-

1

x+1 x

=

1

x+1

；故有不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

成立．
令x=1，2，…，n-1，（n∈N^*且n≥2），即可得證．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-

1

a

(1-

1

x

)，則f′(x)=

ax-1

ax2

，
∵a＞0，x＞0，所以ax²＞0，令ax-1＞0，x＞

1

a

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(

1

a

，+∞)；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

1

a

)；…（4分）
（Ⅱ）若f（x）在x∈[1，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）≥0恒成立，即a≥

1

x

恒成立
即a≥(

1

x

)max，
∵x∈[1，+∞），
∴

1

x

≤1，故a≥1．…．（7分）
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為1首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，所以a_n=n，S_n=1+

1

2

+…+

1

n

，
當(dāng)a=1時(shí)，由（Ⅱ）知：f（x）=

1-x

x

+lnx在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，f(n)-

1

n

=lnn-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1），所以

1-x

x

+lnx＞0，即lnx＞1-

1

x

，
∴ln

x+1

x

＞1-

1

x+1 x

=

1

x+1

；
令g（x）=x-1-lnx，則有g′(x)=1-

1

x

，當(dāng)x∈（1，+∞），有g(shù)′（x）＞0
則g（x）＞g（1）=0，即lnx＜x-1，所以x∈（1，+∞）時(shí)，ln

x+1

x

＜

x+1

x

-1=

1

x

∴不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

成立．
令x=1，2，…，n-1，（n∈N^*且n≥2）時(shí)，
將所得各不等式相加，得

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＜1+

1

2

+…+

1

n-1

，
即

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜1+

1

2

+…+

1

n-1

．
∴Sn-2＜f(n)-

1

n

＜Sn-1-1（n∈N^*且n≥2）．  …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值知識(shí)，考查恒成立問(wèn)題及證明利用函數(shù)證明不等式成立問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化劃歸思想及構(gòu)造函數(shù)法的運(yùn)用能力，邏輯思維強(qiáng)，屬難題．