Question

7．橢圓my²+x²=1的一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}$的準(zhǔn)線上，則橢圓的離心率（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{63}}}{8}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 4
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其準(zhǔn)線方程，由橢圓的方程可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，分析可得$\sqrt{\frac{1}{m}}$=$\frac{1}{2}$，解可得m=4，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由離心率公式計(jì)算可得答案．

解答 解：拋物線的方程為$y=\frac{1}{2}{x^2}$，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2y，
其準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{2}$；
橢圓my²+x²=1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{m}}$=1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0）、（0，±$\sqrt{\frac{1}{m}}$），
若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}$的準(zhǔn)線上，
則有$\sqrt{\frac{1}{m}}$=$\frac{1}{2}$，解可得m=4，
即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1，c=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握橢圓方程的形式．