已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.
(Ⅰ)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-
13
,1)
,求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)y=g(x)的圖象在點(diǎn)P(-1,1)處的切線方程;
(Ⅲ)若不等式2f(x)≤g′(x)+2的解集為P,且(0,+∞)⊆P,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)得g'(x)<0的解集為(-
1
3
,1)即g'(x)=0方程的兩個(gè)解是-
1
3
,1將兩個(gè)解代入到方程中求出a的值可得到g(x)的解析式;
(Ⅱ)由g'(-1)=4得到直線的斜率,直線過(guò)(-1,1),則寫(xiě)出直線方程即可;
(Ⅲ)把f(x)和g'(x)代入到不等式中解出a≥lnx-
3
2
x-
1
2x
,設(shè)h(x)=lnx-
3x
2
-
1
2x
,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的增減性求出h(x)的最大值即可得到a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)g'(x)=3x2+2ax-1,由題意3x2+2ax-1<0的解集是(-
1
3
,1)
即3x2+2ax-1=0的兩根分別是-
1
3
,1
將x=1或-
1
3
代入方程3x2+2ax-1=0得a=-1.
∴g(x)=x3-x2-x+2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:g'(x)=3x2-2x-1,
∴g'(-1)=4,
∴點(diǎn)P(-1,1)處的切線斜率k=g'(-1)=4,
∴函數(shù)y=g(x)的圖象在點(diǎn)P(-1,1)處的切線方程為:y-1=4(x+1),即4x-y+5=0.
(Ⅲ)∵(0,+∞)⊆P,
∴2f(x)≤g'(x)+2即:2xlnx≤3x2+2ax+1對(duì)x∈(0,+∞)上恒成立可得
a≥lnx-
3
2
x-
1
2x
對(duì)x∈(0,+∞)上恒成立.
設(shè)h(x)=lnx-
3x
2
-
1
2x
,則h′(x)=
1
x
-
3
2
+
1
2x2
=-
(x-1)(3x+1)
2x2

令h′(x)=0,得x=1,x=-
1
3
(舍)
當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),h′(x)<0
∴當(dāng)x=1時(shí),h(x)取得最大值,h(x)max=-2.
∴a≥-2,
∴a的取值范圍是[-2,+∞)
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力,以及會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,理解函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件.
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已知a∈R,函數(shù)f(x)=xln(-x)+(a-1)x.
(Ⅰ)若f(x)在x=-e處取得極值,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-e2,-e-1]上的最大值g(a).

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ax1+x
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