Question

如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為2a．DE把△ABC的面積分成相等的兩部分．點D在AB上，點E在AC上．
（1）設(shè)AD=x（x≥a），DE=y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試確定DE的位置，使DE最短．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理的面積公式算出△ABC的面積，結(jié)合已知條件得△ADE的面積等于

1

2

S_△ABC，由此建立關(guān)系式算出AE=

2a2

x

，再在△ADE中用余弦定理列式，即可得到用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用基本不等式求最值，即可算出當(dāng)D點距離A點

2

a時，DE最短．

解答：解：（1）∵△ABC是邊長為2a的等邊三角形，
∴可得△ABC的面積為S_△ABC=

1

2

×(2a)2sin60°=

3

a²，
又∵DE把△ABC的面積分成相等的兩部分
∴S_△ADE=

1

2

S_△ABC=

3

2

a2
可得

1

2

x•AE•sin60°=

3

2

a2，得AE=

2a2

x

．
在△ADE中，由余弦定理得
y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°=x²+（

2a2

x

）²-x•（

2a2

x

）=x²+（

2a2

x

）²-2a²
可得y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

（a≤x≤2a）．
（2）由基本不等式，可得
∵x²+

4a4

x2

≥2

x2• 4a4 x2

=4a²，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

a時取等號．
∴y≥

4a2-2a2

=

2

a，即當(dāng)x=

2

a時，y的最小值是

2

a
即當(dāng)D點距離A點

2

a時，DE最短，此時DE∥BC，DE的最小值為

2

a．

點評：本題主要考查了基本不等式求最值、利用正余弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．同時考查了學(xué)生的邏輯推理能力和運用所學(xué)知識解決實際應(yīng)用問題的能力，屬于綜合題．