Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線l，交y軸于點(diǎn)A，直線l′過(guò)點(diǎn)P且垂直于l，交y軸于點(diǎn)B、
（1）求橢圓的方程．
（2）試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若能，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵2a=4，=，∴a=2，c=1，b=．
∴橢圓的方程為+=1．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠0），
直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀），代入+=1，
整理，得（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（y₀-kx₀）²-12=0．
∵x=x₀是方程的兩個(gè)相等實(shí)根，
∴2x₀=-，解得k=-．
∴直線l的方程為y-y₀=-（x-x₀）．
令x=0，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，）．
又∵+=1，∴4y+3x0=12．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，）．
又直線l′的方程為y-y₀=（x-x₀），
令x=0，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-）．
∴以AB為直徑的圓的方程為x•x+（y-）•（y+）=0．整理，得x²+y²+（-）y-1=0．
令y=0，得x=±1，
∴以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）和（-1，0）．
分析：（1）依題意根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)求得a，根據(jù)離心率求得c，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），進(jìn)而表示出直線l的方程，代入橢圓方程消去y，根據(jù)x=x₀是方程的兩個(gè)相等實(shí)根，求得x₀與k的關(guān)系式，求得k的表達(dá)式，代入直線方程，令x=0，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，表示出以AB為直徑的圓的方程整理后令y=0求得x，進(jìn)而求得圓恒過(guò)的點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．涉及了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓與圓，橢圓與直線的關(guān)系，綜合考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的理解和運(yùn)用．