Question

用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字：
（1）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？
（2）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？
（3）組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4023大的數(shù)有多少？（要求算出最終結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，分組成一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)、六位數(shù)、6種情況討論，因首位數(shù)字不能為0，則每種情況下先分析首位數(shù)字的選法數(shù)目，再由排列公式分析其他位置的情況，由分步計數(shù)原理計算可得其自然數(shù)的個數(shù)；再由分類計數(shù)原理，將各種情況下的個數(shù)相加即可得答案．
（2）由題意知，符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：0在個位，2在個位，4在個位，對每一類分別計數(shù)再求它們的和即可得到無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)；
（3）當(dāng)首位是5時，其他幾個數(shù)字在三個位置上排列，當(dāng)首位是4時，第二位從1，2，3，5四個數(shù)字中選一個，后兩位沒有限制，當(dāng)前兩位是40時，當(dāng)前三位是403時，分別寫出結(jié)果數(shù)，相加得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知，分情況討論：
①若組成一位數(shù)，有6種情況；
②若組成兩位數(shù)，由于十位不為0，則十位有5種選擇，個位也有5種選擇，共5×5=25個；
③若組成三位數(shù)，由于百位不為0，則百位有5種選擇，個位、十位有A₅²=20種選擇，共5×20=100個；
④若組成四位數(shù)，由于千位不為0，則千位有5種選擇，百位、個位、十位有A₅³=60種選擇，共5×60=300個；
⑤若組成五位數(shù)，由于萬位不為0，則萬位有5種選擇，其他位置有A₅⁴=120種選擇，共5×120=600個；
⑥若組成六位數(shù)，由于首位不為0，則首位有5種選擇，其他位置有A₅⁵=60種選擇，共5×120=600個；
由分類計數(shù)原理可得，共有6+25+100+300+600+600=1631個；
（2）第一類：0在個位時有A₅³個；
第二類：2在個位時，首位從1，3，4，5中選定1個（有A₄¹種），十位和百位從余下的數(shù)字中選（有A₄²種），于是有A₄¹A₄²個；
第三類：4在個位時，與第二類同理，也有A₄¹A₄²個．
共有四位偶數(shù)：A₅³+A₄¹A₄²+A₄¹A₄²=156個．
（3）當(dāng)首位是5時，其他幾個數(shù)字在三個位置上排列，共有A₅³=60，
當(dāng)首位是4時，第二位從1，2，3，5四個數(shù)字中選一個，共有C₄¹A₄²=48
當(dāng)前兩位是40時，第三位是3，最后一位三選一，共有A₃¹=3種，
當(dāng)前兩位是40時，第三位是5，最后一位三選一，共有A₃¹=3種，
當(dāng)前三位是402時，第四位必須為5，有1種情況，
根據(jù)分類加法原理得到共有A³₅+A¹₄A²₄+2A¹₃+1=115

點評：本題考查排列、組合的運用，解題中要注意0不能在首位，注意分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的應(yīng)用．