Question

16．如圖，AB是圓O的直徑，P是圓弧AB上的點(diǎn)，M、N是AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且AB=6，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=8．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON}$，$|\overrightarrow{PO}|$=3，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{ON}$．代入計(jì)算即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON}$，$|\overrightarrow{PO}|$=3，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{ON}$．
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON}$）=${\overrightarrow{PO}}^{2}$+$\overrightarrow{PO}$•$（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}）$+$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$
=3²-$\frac{1}{36}×{6}^{2}$
=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．