Question

4．已知數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，a₁=1，滿足S_n=2a_n+1+n，n∈N^*，則求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式求出a₂，再把數(shù)列遞推式變形后可得數(shù)列{a_n+1}從第二項起，構(gòu)成以1為首項，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求得答案．

解答 解：由S_n=2a_n+1+n，①得
S_n+1=2a_n+2+n+1，②
②-①得a_n+1=2a_n+2-2a_n+1+1，
即${a}_{n+2}=\frac{3}{2}{a}_{n+1}+\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n+2}+1=\frac{3}{2}（{a}_{n+1}+1）$，
∵a₁=1，∴${a}_{2}=\frac{1}{2}（{a}_{1}-1）=0$，
則a₂+1=1≠0．
∴數(shù)列{a_n+1}從第二項起，構(gòu)成以1為首項，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列．
則當n≥2時，${a}_{n}+1=\frac{1-（\frac{3}{2}）^{n-2}}{1-\frac{3}{2}}$=$2-（\frac{3}{2}）^{n-2}$，
即${a}_{n}=1-（\frac{3}{2}）^{n-2}$（n≥2）．
驗證n=1上式不成立．
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{1-{{（\frac{3}{2}）}^{n-2}}（n≥2）}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．