Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，A，B是橢圓的左，右頂點，P是橢圓上不與A，B重合的一點，PA、PB的傾斜角分別為α、β，則$\frac{cos（α-β）}{cos（α+β）}$=$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），可得${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-$\frac{1}{4}$=-tanα•tanβ.$\frac{cos（α-β）}{cos（α+β）}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{1+tanαtanβ}{1-tanαtanβ}$，即可得出．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，∴${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，
則k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$=-tanα•tanβ．
∴$\frac{cos（α-β）}{cos（α+β）}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{1+tanαtanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、和差公式、三角函數(shù)基本關(guān)系式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．