Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)）．現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ．
（Ⅰ） 寫出直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)M（-1，0）且與直線l平行的直線l₁交C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}x=6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$消去參數(shù)t，可得直線l的普通方程；由ρ=6cosθ得ρ²=6ρcosθ，由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)M（-1，0）且與直線l平行的直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$，將其代入x²+y²-6x=0，結(jié)合韋達(dá)定理，可得$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=2$．

解答 解：（Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}x=6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為x-y-6=0．
又由ρ=6cosθ得ρ²=6ρcosθ，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6x=0．（5分）
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)M（-1，0）且與直線l平行的直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$
將其代入x²+y²-6x=0得${t^2}-4\sqrt{2}t+7=0$，
則${t_1}+{t_2}=4\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=7$，知t₁＞0，t₂＞0，
所以$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=2$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的參數(shù)方程，圓的極坐標(biāo)方程，兩點(diǎn)之間的距離，難度中檔．