Question

17．下列幾個命題：
①函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
②“$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件；
③設函數(shù)y=f（x）的定義域為R，則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于y軸對稱；
④若函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數(shù)，則φ=$\frac{π}{2}+kπ$（k∈Z）；
⑤已知x∈（0，π），則y=sinx+$\frac{2}{sinx}$的最小值為2$\sqrt{2}$．
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷①；根據(jù)二次不等式恒成立的充要條件，可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象的對稱變換，可判斷③；根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷④；根據(jù)正弦函數(shù)的值域及對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷⑤．

解答 解：①函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$=0的定義域為{-1，1}關于原點對稱，且f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）均恒成立，故即是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)，故錯誤；
②“$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$”時，“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”，
“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”時“$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$”，
故“$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件，故正確；
③設函數(shù)y=f（x）的定義域為R，則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，故錯誤；
④若函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數(shù)，則cosφ=0，則φ=$\frac{π}{2}+kπ$（k∈Z），故正確；
⑤已知x∈（0，π），則當x=$\frac{π}{2}$，即sinx=1時，y=sinx+$\frac{2}{sinx}$取最小值為3，故錯誤；
故正確的命題個數(shù)是2個，
故選：D

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的對稱變換，一元二次不等式恒成立問題，對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識點，難度中檔．