已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，且圓C：x2+y2+
3
x-3y-6=0過A，F(xiàn)2兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設直線PF2的傾斜角為α，直線PF1的傾斜角為β，當β-α=
2π
3
時，證明：點P在一定圓上．
（3）直線BC過坐標原點，與橢圓E相交于B，C，點Q為橢圓E上的一點，若直線QB，QC的斜率kQB，kQC存在且不為0，求證：kQB•kQC為定植．
（1）∵圓x2+y2+
3
x-3y-6=0與x軸交點坐標為A(-2
3
，0)，F2(
3
，0)，
∴a=2
3
，c=
3
，∴b=3，
∴橢圓方程是：
x2
12
+
y2
9
=1．…（4分）
（2）證明：設點P（x，y），因為F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），
所以kPF1=tanβ=
y
x+
3
，kPF2=tanα=
y
x-
3
，
因為β-α=
2π
3
，所以tan（β-α）=-
3
．
因為tan（β-α）=
tanβ-tanα
1+tanαtanβ
=
-2
3
y
x2+y2-3
，所以
-2
3
y
x2+y2-3
=-
3
，
化簡得x2+y2-2y=3，所以點P在定圓x2+y2-2y=3上．…（10分）
（3）證明：設B（m，n），Q（x′，y′），則C（-m，-n）
∴kQB•kQC=
n-y′
m-x′
•
-n-y′
-m-x′
=
n2-y′2
m2-x′2

∵
m2
12
+
n2
9
=1，
x′2
12
+
y′2
9
=1
∴兩式相減可得
m2-x′2
12
+
n2-y′2
9
=0
∴
n2-y′2
m2-x′2
=-
3
4

∴kQB•kQC=-
3
4
…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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