Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c，其中a＞0，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為x軸
（1）若x=1為f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的解析式
（2）若過(guò)點(diǎn)（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，理清題意，列出方程解出a、b、c，從而確定解析式
（2）考查學(xué)生構(gòu)建函數(shù)能力，要求學(xué)生要有一定的轉(zhuǎn)化能力，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，數(shù)形結(jié)合解決

解答：解：由f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為x軸，得f（0）=0，f'（0）=0．
故b=0，c=0．（2分）
（I）又f'（1）=0，
所以a=1，f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2（4分）
（II）f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2，f′(x)=x2-ax．由于點(diǎn)（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點(diǎn)（0，2）在切線上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡(jiǎn)得

2

3

t3-

a

2

t2+2=0，即t滿足的方程為

2

3

t3-

a

2

t2+2=0．（6分）
過(guò)點(diǎn)（0，2）可作y=f（x）的三條切線，等價(jià)于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）
有三個(gè)相異的實(shí)根，即等價(jià)于方程

2

3

t3-

a

2

t2+2=0有三個(gè)相異的實(shí)根.設(shè)g(t)=

2

3

t3-

a

2

t2+2．g′(t)=2t2-at=2t(t-

a

2

)．由于a＞0，
故有
由g（t）的單調(diào)性知：要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)根，
當(dāng)且僅當(dāng)

g(0)＞0 g( a 2 )＜0

時(shí)滿足，
即

2＞0 2- a3 24 ＜0

，a＞2

3	6

．
∴a的取值范圍是(2

3	6

，+∞).（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用以及數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用能力，對(duì)學(xué)生有一定的能力要求，有一定的難度