Question

點(diǎn)P在直徑為4的球面上，過(guò)P作兩兩垂直的三條弦PA，PB，PC，用S₁、S₂、S₃分別表示△PBC、△PCA、△PAB的面積，則S₁+S₂+S₃的最大值是

8

．

Answer 1

分析：根據(jù)PB，PC，PA兩兩垂直，補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體對(duì)角線性質(zhì)，球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，再利用基本不等式，即可求得S₁+S₂+S₃的最大值．

解答：解：設(shè)PB=b，PC=c，PA=a，PB，PC，PA兩兩垂直，補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體對(duì)角線性質(zhì)，有4²=a²+b²+c²．
∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
又S1+S2+S3=

1

2

(ab+bc+ac)≤

1

2

×16=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào)．
∴S₁+S₂+S₃的最大值是8．
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接幾何體，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)PB，PC，PA兩兩垂直，補(bǔ)形成長(zhǎng)方體．