Question

（文）已知函數．
（1）若函數在x=1時取得極小值，求實數a的值；
（2）當時，求證：f（x）在（-1，1）內是減函數．

Answer 1

解：（1）∵，
∴f'（x）=2x²-2ax-3
由…（4分）
又，x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，所以在f（x）在x=1時取得極小值，所以；
證明：（2）f'（x）=2x²-2ax-3是x的二次函數，
且對稱軸方程 ，∵，，∴-1＜2a＜1．
∴．…（8分）
∴f'（1）=2-2a-3=-2a-1＜0，f'（-1）=2+2a-3=2a-1＜0．…（10分）
∴f'（x）在（-1，1）內恒有f'（x）＜0．
∴f（x）在（-1，1）內是減函數． …（12分）
分析：（1）通過求函數的導數，函數f（x）在x=1處取得極值，就是x=1時導數為0，求出a，利用極小值，驗證求出a，可得f（x）的解析式；
（2）要證：f（x）在（-1，1）內是減函數，只須證在（-1，1）內恒有f'（x）＜0，利用二次函數的性質即可以得證．
點評：本題考查待定系數法求函數解析式，函數恒成立問題，利用導數研究函數的極值，是中檔題．