Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx.

(1)證明：f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增；

(2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)m正負(fù)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論得導(dǎo)函數(shù)符號（2）先利用最值轉(zhuǎn)化不等式恒成立得f(x)最大值與最小值的差不大于e-1,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，解對應(yīng)不等式得m的取值范圍．

試題解析：(1)f′(x)＝m(emx－1)＋2x.

若m≥0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，emx－1≤0，f′(x)＜0；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，emx－1≥0，f′(x)＞0.

若m＜0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，emx－1＞0，f′(x)＜0；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，emx－1＜0，f′(x)＞0.

所以，f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增．

(2)由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1,0]單調(diào)遞減，在[0,1]單調(diào)遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是

即①

設(shè)函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.

當(dāng)t＜0時(shí)，g′(t)＜0；當(dāng)t＞0時(shí)，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增．

又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當(dāng)t∈[－1,1]時(shí)，g(t)≤0.

當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；

當(dāng)m＞1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)＞0，即em－m＞e－1；

當(dāng)m＜－1時(shí)，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.

綜上，m的取值范圍是[－1,1]．