Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-1-ax，g（x）=xf（x）
（Ⅰ）若a=

1

2

，求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=

1

2

時(shí)，g′（x）=（e^x-1）（x+1），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，根據(jù)a的取值范圍利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=

1

2

時(shí)，g（x）=x（e^x-1）-

1

2

x2，g′（x）=（e^x-1）（x+1），
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，g′（x）＜0．
故g（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在x∈（-1，0）上單調(diào)遞減．…（6分）
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，
若a≤1，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，而f（0）=0，
從而當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0；
若a＞1，則當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，而f（0）=0，
從而當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，f（x）＜0．
綜上得a的取值范圍為（-∞，1]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．