Question

8．四面體ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，則四面體ABCD的體積V=（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，通過分割補形，求出B到底面ACD的距離，代入體積公式求解．

解答 解：如圖，

在AC上取E，使AE=2，在AD上取F，使AF=2，連接BE、BF、EF，
則四面體B-AEF為正四面體，過B作BO⊥平面AEF，垂足為O，
連接AO并延長，交EF于G，則AG=$\sqrt{3}$，AO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BO=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}AC×AD×sin60°=\frac{1}{2}×3×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$．
∴${V}_{B-ACD}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力和邏輯思維能力，是中檔題．