Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足

x=1+cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)，，則

y

x-3

的取值范圍是（　　）

• A．[-

  3

  3

  ，0]
• B．[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]
• C．[0，

  3

  3

  ]
• D．[-

  3

  ，0]

Answer 1

分析：將實(shí)數(shù)x、y代入

y

x-3

，構(gòu)建函數(shù)g(x)=

sinθ

cosθ-2

，利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的最值，從而確定

y

x-3

的取值范圍

解答：解：由題意，

y

x-3

=

sinθ

cosθ-2

設(shè)g(x)=

sinθ

cosθ-2

，
∴g′(x)=

cosθ(cosθ-2)-sinθ×(-sinθ)

(cosθ-2)2

=

1-2cosθ

(cosθ-2)2

令g′（x）=0，則1-2cosθ=0
∵0≤θ≤π
∴θ=

π

3

∴函數(shù)在(0，

π

3

)上單調(diào)減，在(

π

3

，π)上單調(diào)增
∴θ=

π

3

時(shí)，函數(shù)取得最小值為g(

π

3

)=

sin π 3

cos π 3 -2

=-

3

3

∵g(0)=

sin0

cos0-2

=0，g(π)=

sinπ

cosπ-2

=0
∴θ取0或π時(shí)，函數(shù)取得最大值為0
∴

y

x-3

的取值范圍是[-

3

3

，0]
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題以圓的參數(shù)方程為載體，考查函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，有一定的綜合性．