Question

18．已知實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y-6≤0\\ 2x-y-2≥0\end{array}$，且z=2x+y的最小值為m，最大值為n，則$\int_m^n$（$\frac{1}{x}$+$\frac{ln2}{3}$）dx=（　�。�

• A． ln3
• B． 2ln2
• C． 2ln3
• D． ln6

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出最大值和最小值，結(jié)合積分的公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點A時，直線y=-2x+z的截距最大，
此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，j即A（3，3），
此時z=2x+y得z=2×3+3=9．即n=9，
當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點C時，直線y=-2x+z的截距最小，
此時z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（2，2），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×2+2=6．
即m=6，
則$\int_m^n$（$\frac{1}{x}$+$\frac{ln2}{3}$）dx=${∫}_{6}^{9}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{ln2}{3}$）dx=（lnx+$\frac{ln2}{3}$x）|${\;}_{6}^{9}$=ln9+9×$\frac{ln2}{3}$-ln6-$\frac{ln2}{3}$×6
=ln9+3ln2-ln6-2ln2=ln9+ln8-ln6-ln4=ln$\frac{8×9}{6×4}$=ln3，
故選：A

點評 本題主要考查線性規(guī)劃和積分的計算，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．