Question

9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知cosA=$\frac{2}{3}$，sinB=$\sqrt{5}$cosC，并且a=$\sqrt{2}$，則△ABC的面積為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由cosA的值和平方關系求出sinA，利用誘導公式、內(nèi)角和定理得到sinB=sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡：sinB=$\sqrt{5}$cosC，利用同角三角函數(shù)間的基本關系列出方程組，求出sinC與cosC的值，由正弦定理求出c的值，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：∵cosA=$\frac{2}{3}$，A為三角形的內(nèi)角，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵sinB=$\sqrt{5}$cosC，且sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=$\sqrt{5}$cosC，則$\frac{\sqrt{5}}{3}$cosC+$\frac{2}{3}$sinC=$\sqrt{5}$cosC，
即$\frac{2}{3}$sinC-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$cosC=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{sinC-\sqrt{5}cosC=0}\\{si{n}^{2}C+co{s}^{2}C=1}\end{array}\right.$得，sinC=$\sqrt{\frac{5}{6}}$，cosC=$\sqrt{\frac{1}{6}}$，
∴sinB=$\sqrt{5}$cosC=$\sqrt{\frac{5}{6}}$，
又a=$\sqrt{2}$，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
則c=$\frac{a•sinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{\frac{5}{6}}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×\sqrt{\frac{5}{6}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式和定理是解題的關鍵，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．