Question

已知函數(shù)f（x）=2cosωxsin（ωx+

π

6

）+cos⁴ωx-sin⁴ωx（ω＞0）的兩條相鄰對稱軸之間的距離等于

π

2

，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且銳角B滿足f（B）=

1

2

，b=

7

，a+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及平方差公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosB，b，a+c的值代入求出ac的值，再利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cosωx（sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

）+（cos²ωx-sin²ωx）（cos²ωx+sin²ωx）
=

3

cosωxsinωx+cos²ωx+cos2ωx
=

3

2

sin2ωx+cos²ωx+cos2ωx
=

3

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

1

2

=

3

sin（2ωx+

π

3

）+

1

2

，
∵T=π，∴ω=1，
則f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+

1

2

；
（Ⅱ）∵B為三角形銳角，
∴B=60°，
在△ABC中，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
將b=

7

，a+c=4代入得：ac=3，
則S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

sin60°=

3 3

4

．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．