Question

6．已知f（x）=elnx，g（x）=$\frac{1}{e}$f（x）-x+1，h（x）=$\frac{1}{2}$x²．
（1）求g（x）的極大值；
（2）證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時，h（x）≥f（x）；
（3）當(dāng)x∈（0，+∞）時，能否存在常數(shù)k，b，使h（x）≥kx+b，f（x）≤xk+b都成立，若存在，求出k，b，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)g（x）的極大值．
（2）構(gòu)造新函數(shù)F（x）=h（x）-f（x），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出F（x）的最小值，從而證出結(jié)論．
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在x=$\sqrt{e}$處有公共點(diǎn)（$\sqrt{e}$，$\frac{1}{2}$e），設(shè)f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為y-$\frac{1}{2}$ e=k（x-$\sqrt{e}$），構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．

解答 （1）解：g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$（x＞0），
令g′（x）＞0，解得0＜x＜1；令g′（x）＜0，解得x＞1；
∴函數(shù)g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
所以g（x）的極大值為g（1）=-2．
（2）證明：設(shè)F（x）=h（x）-f（x）=$\frac{1}{2}$x²-elnx（x＞0），
則F′（x）=x-$\frac{e}{x}$=$\frac{（x+\sqrt{e}）（x-\sqrt{e}）}{x}$，
則當(dāng)0＜x＜$\sqrt{e}$時，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．
∴x=$\sqrt{e}$是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
∴F（x）_min=F（$\sqrt{e}$）=0；
∴h（x）≥f（x）．
（3）解：由（2）得：F（x）_min=F（$\sqrt{e}$）=0；
∴函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在x=$\sqrt{e}$處有公共點(diǎn)（$\sqrt{e}$，$\frac{1}{2}$e）．
設(shè)f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為y-$\frac{1}{2}$e=k（x-$\sqrt{e}$），
令函數(shù)u（x）=kx+$\frac{1}{2}$e-k$\sqrt{e}$①由h（x）≥u（x），
得$\frac{1}{2}$x²≥kx+$\frac{1}{2}$e-k$\sqrt{e}$在x∈R上恒成立，
即x²-2kx-e+2k$\sqrt{e}$≥0在x∈R上恒成立，
∴△=4k²-4（-e+2k$\sqrt{e}$）≤0，
即4（k-$\sqrt{e}$）²≤0，
∴k=$\sqrt{e}$，故u（x）=$\sqrt{e}$x-$\frac{1}{2}$e．
②下面說明：f（x）≤u（x），
即elnx≤$\sqrt{e}$x-$\frac{1}{2}$e（x＞0）恒成立．
設(shè)V（x）=elnx-$\sqrt{e}$x+$\frac{1}{2}$e，
則V′（x）=$\frac{e}{x}$-$\sqrt{e}$=$\frac{e-\sqrt{e}x}{x}$，
∵當(dāng)0＜x＜$\sqrt{e}$時，V′（x）＞0，函數(shù)V（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時，V′（x）＜0，函數(shù)V（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\sqrt{e}$時，V（x）取得最大值0，V（x）≤V（x）_max=0．
∴elnx≤$\sqrt{e}$x-$\frac{1}{2}$e（x＞0）成立．
綜合①②知h（x）≥$\sqrt{e}$x-$\frac{1}{2}$e，且f（x）≤$\sqrt{e}$x-$\frac{1}{2}$e，
故函數(shù)f（x）與h（x）存在“分界線”y=$\sqrt{e}$x-$\frac{1}{2}$e，
此時k=$\sqrt{e}$，b=-$\frac{1}{2}$e．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．