Question

已知平面直角坐標(biāo)系上的三點(diǎn)A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ）（θ∈（0，π）），且共線．
（1）求tanθ；
（2）求的值．

Answer 1

解：（1）∵A（0，1），B（-2，0），C（cosθ，sinθ），
∴=（2，1），=（cosθ，sinθ），
∵與共線，
∴=，即2sinθ-cosθ=0，
則tanθ=；
（2）∵tanθ=＞0，θ∈（0，π），
∴θ∈（0，），
由，得sinθ=，cosθ=，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2××=；cos2θ=cos²θ-sin²θ=（）²-（）²=，
則sin（2θ-）=sin2θcos-cos2θsin=×-×=．
分析：（1）由A，B及C的坐標(biāo)，表示出與的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量共線時(shí)滿足的條件列出關(guān)系式，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，即可求出tanθ的值；
（2）由tanθ的值大于0及θ的范圍，得到θ為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系列出關(guān)于sinθ和cosθ方程組，求出方程組的解得到sinθ和cosθ的值，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式分別表示出sin2θ和cos2θ，將求出的sinθ和cosθ的值代入求出sin2θ和cos2θ的值，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)所求的式子后，將sin2θ和cos2θ的值代入即可求出值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，共線向量的坐標(biāo)表示，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．