Question

9．若點O和點$F（-\sqrt{3}，0）$分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}={1_{\;}}$（a＞0）的對稱中心和左焦點，點P為雙曲線右支上任意一點，則$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$的取值范圍為（1，（1，$\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的焦點坐標，求出a的值，設P（x，y），利用距離公式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵點O和點$F（-\sqrt{3}，0）$分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}={1_{\;}}$（a＞0）的對稱中心和左焦點，
∴c=$\sqrt{3}$，則c²=a²+1=3，則a²=2，
即雙曲線方程為$\frac{1}{2}$x²-y²=1，
設P（x，y），則x≥$\sqrt{2}$，
則$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$=$\frac{（x+\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}$=1+$\frac{4}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{4}{3}（\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$，
∵x≥$\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取得最大值為$\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$，
故$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{OP}|}^2}+1}}$的取值范圍為（1，$\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$]，
故答案為（1，$\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$]．

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應用，利用距離公式，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵．