Question

12．若α，β∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且αsinα-βsinβ＞0，則下列關系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α²＞β²；⑤α²≤β²
其中正確的序號是：④．

Answer 1

分析 構造函數f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，利用奇偶函數的定義可判斷其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判斷f（x）=xsinx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，與x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上的單調性，從而可選出正確答案．

解答 解：令f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]為偶函數．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴當x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]單調遞增；
同理可證偶函數f（x）=xsinx在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]單調遞減；
∴當0≤|β|＜|α|≤$\frac{π}{2}$時，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立，
∴α²＞β²．
故答案為④．

點評 本題考查正弦函數的單調性，難點在于構造函數f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，通過研究函數f（x）=xsinx，的奇偶性與單調性解決問題，屬于難題．