Question

如圖，森林的邊界是直線L，兔子和狼分別在L的垂線AC上的點(diǎn)A和點(diǎn)B處（AB=BC=a），現(xiàn)兔子沿線AD（或AE）以速度2v準(zhǔn)備越過L向森林逃跑，同時(shí)狼沿線段BM（點(diǎn)M在AD上）或BN（點(diǎn)N在AE上）以速度v進(jìn)行追擊，若狼比兔子先到或同時(shí)到達(dá)點(diǎn)M（或N）處，狼就會(huì)吃掉兔子．求兔子的所有不幸點(diǎn)（即可能被狼吃掉的地方）組成的區(qū)域的面積S．

Answer 1

如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系x0y，并設(shè)M（x，y）．
狼要吃掉兔子需先到達(dá)M點(diǎn)或與兔子同時(shí)到達(dá)M點(diǎn)，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

．…（4分）
即2|BM|≤|AM|
∴2

x2+(y-a)2

≤

x2+(y-2a)2

兩邊平方，整理得：3x²+3y²-4ay≤0
即：x2+(y-

2

3

a)2≤(

2

3

a)2…（8分）
所以，兔子的所有不幸點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A及其內(nèi)部．∴S=π•(

2

3

a)2=

4

9

πa2
所以，兔子的所有不幸點(diǎn)組成的區(qū)域的面積S為

4

9

πa2．…（10分）