Question

【題目】已知在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），在極坐標系（以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸）中，曲線C2的方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），曲線C1、C2交于A、B兩點．
（Ⅰ）若p=2且定點P（0，﹣4），求|PA|+|PB|的值；
（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，求p的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲線C2的方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），

∴曲線C2的直角坐標方程為y2=2px，p＞2．

又已知p=2，∴曲線C2的直角坐標方程為y2=4x．

將曲線C1的參數(shù)方程 （t為參數(shù)）與y2=4x聯(lián)立得： t+32=0，

由于△= ﹣4×32＞0，

設方程兩根為t1，t2，

∴t1+t2=12 ，t1t2=32，

∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12 ．

（Ⅱ）將曲線C1的參數(shù)方程 （t為參數(shù)）與y2=2px聯(lián)立得：t2﹣2 （4+p）t+32=0，

由于△= ﹣4×32=8（p2+8p）＞0，

∴t1+t2=2 （4+p），t1t2=32，

又|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，

∴|AB|2=|PA||PB，

∴ =|t1||t2|，

∴ =5t1t2，

∴ =5×32，

∴p2+8p﹣4=0，解得：p=﹣4 ，

又p＞0，

∴p=﹣4+2 ，

∴當|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列時，p的值為﹣4+2

【解析】（Ⅰ）曲線C2的方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），利用互化公式可得直角坐標方程．將曲線C1的參數(shù)方程 （t為參數(shù)）與拋物線方程聯(lián)立得： t+32=0，可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|．（Ⅱ）將曲線C1的參數(shù)方程與y2=2px聯(lián)立得：t2﹣2 （4+p）t+32=0，又|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，可得|AB|2=|PA||PB|，可得 =|t1||t2|，即 =5t1t2，利用根與系數(shù)的關系即可得出．