Question

已知定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函數(shù)，函數(shù)f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（II）當(dāng)a≤1時(shí)，若x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）若二次函數(shù)R（x）圖象過（1，1）點(diǎn)，對于給定的函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)A（x₁，y₁），當(dāng)x₁=

1

e

時(shí)，探求函數(shù)f（x）圖象上是否存在點(diǎn)B（x₂，y₂）（x₂＞1），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對稱，可求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法，可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（II）由（I）中結(jié)論中函數(shù)f（x）的單調(diào)性，可得x=

a

a

是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，對a分類討論可得x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）由函數(shù)R（x）圖象過（1，1）點(diǎn)，可求出a值，確定函數(shù)f（x）的解析式，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（

1

e

），分析函數(shù)零點(diǎn)是否存在可得答案．

解答：解：（I）∵定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)的對稱軸x=

b

2a

=0，即b=0，
∴R（x）=ax²，
∴f（x）=2lnx-ax²的定義域?yàn)椋?，+∞）
∴f′（x）=

2(1-ax2)

x

，
令f′（x）＞0，則0＜x＜

a

a

令f′（x）＜0，則x＞

a

a

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

a

a

），單調(diào)遞減區(qū)間為（

a

a

，+∞）
（II）由（1）得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

a

a

），單調(diào)遞減區(qū)間為（

a

a

，+∞）
∴x=

a

a

是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)
∵0＜a≤1
∴

a

a

≥1
當(dāng)

a

a

≥2，即0＜a≤

1

4

，f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，則f（x₀）的最大值為f（2）=2ln2-4a
當(dāng)1≤

a

a

＜2，即

1

4

＜a≤1，則f（x₀）的最大值為f（

a

a

）=-lna-1
（III）∵二次函數(shù)R（x）圖象過（1，1）點(diǎn)，則a=1
則f（x）=2lnx-x²（x＞0）
由（1）可知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）
令g（x）=f（x）-f（

1

e

）=2lnx-x²-（-2-

1

e2

）
由題意可知g（x）在（1，+∞）上必存在零點(diǎn)
又由g（x）單調(diào)性與f（x）相同，故g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減
g（1）=-1-（-2-

1

e2

）=1+

1

e2

＞0
g（e）=2-e²-（-2-

1

e2

）=4+

1

e2

-e²＜0
故存在點(diǎn)B使A、B連線平行于x軸

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．