在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，側(cè)面△SAB，△SBC，△SAC的面積分別為1，，3，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．14π
B．
C．
D．
【答案】分析：先根據(jù)題意得出側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，再根據(jù)三角形面積公式，解方程組得SA=2，SB=1，SC=3，進(jìn)而算出以SA、SB、SC為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為 ，從而得到三棱錐外接球R=，最后用球的表面積公式，可得此三棱錐外接球表面積．
解答：解：由題意得，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，
設(shè)SA=x，SB=y，SC=z，則
因?yàn)椤鱏AB，△SBC，△SAC都是以S為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
得 ，解之得：x=2，y=1，z=3即SA=2，SB=1，SC=3，
∵側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，
∴以SA、SB、SC為過(guò)同一頂點(diǎn)的3條棱作長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為=，恰好等于三棱錐外接球的直徑
由此可得外接球的半徑R=得此三棱錐外接球表面積為S=4πR2=14π
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊三棱錐，求它的外接球表面積，著重考查了空間垂直關(guān)系的性質(zhì)和多面體的外接球等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱錐S-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
（其中l(wèi)是三角形的周長(zhǎng)，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以?xún)?nèi)切圓的圓心O為頂點(diǎn)，將三角形ABC分割成三個(gè)小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教網(wǎng)C．
②設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，則r=
2S
l
．
類(lèi)比上述方法，請(qǐng)給出四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算公式（不要求說(shuō)明類(lèi)比過(guò)程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=BC=AC=
2
SB=
2
SC，O為BC中點(diǎn)．
（1）求證：SO⊥平面ABC
（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
15
5
？若存在，確定E點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，側(cè)面△SAB，△SBC，△SAC的面積分別為1，
3
2
，3，則此三棱錐的外接球的表面積為（　�。�

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