Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短軸長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn) 在橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)上。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求以O(shè)M為直徑且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線(xiàn)與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值。

Answer 1

解：（1）由，得                                ……………1分

又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線(xiàn)上，得                                  ……………2分

故，    從而                           ……………4分

所以橢圓方程為                                    ……………5分

（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為

即                                

其圓心為,半徑                                  ……………7分

因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2

所以圓心到直線(xiàn)的距離             ……………9分

所以，解得

所求圓的方程為                            ……………10分

（3）方法一：由平幾知：

直線(xiàn)OM：，直線(xiàn)FN：                    ……………12分

由得

所以線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值。                              ……………16分

方法二、設(shè)，則

又

所以，為定值。