Question

10．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的大��；
（2）已知b=$\sqrt{3}$，BD為AC邊上的高，求BD的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由bcosC=（2a-c）cosB得a²+c²-b²=ac，∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$．
（2）設(shè)BD為AC邊上的高為h由s=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$，得h=$\frac{\sqrt{3}ac}{2b}$=ac，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB3≥2ac-ac，即ac≤3，即h=$\frac{\sqrt{3}ac}{2b}$=ac≤3，從而可得BD的取值范圍

解答 解：（1）由bcosC=（2a-c）cosB得b•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=（2a-c）$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
化簡得a²+c²-b²=ac，∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）設(shè)BD為AC邊上的高為h，
∵s=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$，∴h=$\frac{\sqrt{3}ac}{2b}$=ac，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB⇒a²+c²-ac=3⇒3≥2ac-ac，
∴ac≤3，∴h=$\frac{\sqrt{3}ac}{2b}$=ac≤3．
故BD的取值范圍為（0，3]

點(diǎn)評 本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．