Question

8．（1）已知a∈R且a≠0，試比較a與$\frac{1}{a}$的大��；
（2）解關(guān)于x的不等式ax²-（a²+1）x+a＞0，a∈R．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論a的范圍，比較大小即可；
（2）求出對(duì)應(yīng)方程（x-a）（ax-1）=0的根，通過(guò)討論a的范圍，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）若$a=\frac{1}{a}$，則a=±1；
當(dāng)a＜-1時(shí)，$a＜\frac{1}{a}$；當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，$a＞\frac{1}{a}$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$a＜\frac{1}{a}$；當(dāng)a＞1時(shí)，$a＞\frac{1}{a}$；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜0}；
當(dāng)a≠0時(shí)，若ax²-（a²+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，
則${x_1}=a，{x_2}=\frac{1}{a}$，
由第（1）問(wèn)的結(jié)論，可知：
當(dāng)a＜-1時(shí)，不等式的解集為$\{x|a＜x＜\frac{1}{a}\}$；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，不等式的解集為$\{x|\frac{1}{a}＜x＜a\}$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為$\{x|x＞\frac{1}{a}$或x＜a}；
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|x＞a或$x＜\frac{1}{a}\}$；
當(dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為ϕ；
當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解二次不等式問(wèn)題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．