Question

18．已知實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≥0}\\{x+y-3≥0}\\{3x+y-11≤0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{2y+1}{x-1}$的取值范圍為（　�。�

• A． [-2，3]
• B． [-$\frac{1}{3}$，3]
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{2}$]
• D． [$\frac{5}{2}$，3]

Answer 1

分析 作出約束條件表示的可行域，變形目標函數(shù)為z=2•$\frac{y+\frac{1}{2}}{x-1}$，及z表示可行域內(nèi)的點與P點（1，-$\frac{1}{2}$）連線斜率的2倍．根據(jù)可行域得出z的范圍．

解答 解：作出可行域如圖：

由z=$\frac{2y+1}{x-1}$得z=2•$\frac{y+\frac{1}{2}}{x-1}$．令k=$\frac{y+\frac{1}{2}}{x-1}$，則k表示點P（1，-$\frac{1}{2}$）與可行域內(nèi)的點（x，y）連線的斜率．
由可行域可知k_max=k_PA，k_min=k_PB．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得A（2，1），∴z_max=$2•\frac{1+\frac{1}{2}}{2-1}=3$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{3x+y-11=0}\end{array}\right.$得B（4，-1）．∴z_min=2•$\frac{-1+\frac{1}{2}}{4-1}$=-$\frac{1}{3}$．
∴-$\frac{1}{3}≤z≤3$．
故選：B．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，理解z的幾何意義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．