如圖示,在底面為直角梯形的四棱椎P ABCD中,AD//BC,ÐABC= 900, PA^平面ABCD,PA= 4,AD= 2,AB=2,BC = 6.
(1)求證:BD^平面PAC ;
(2)求二面角A—PC—D的正切值;
(3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.
(1)見解析;(2);(3)
解析試題分析:(1)三角形AOB中,由勾股定理得:BO^AC,即:BD^AC, 又BD^PA,ACÇ PA=A,由線面垂直判定定理可得BD^平面PAC;(2)先作出二面角的平面角,然后在直角三角形中求出正切值;(3)利用等積法,由VD—PBC = VP—BDC即可求出點(diǎn)D到平面PBC的距離.
試題解析:解:(1)令BD與AC相交于點(diǎn)O,不難求得:AC=4,BD= 4
由DAOD~DBOC得:BO=×4= 3;AO=×4=;
\ BO2+AO2 = (3)2+()2=" 12=" AB2
\由勾股定理得:BO^AC,即:BD^AC, 又BD^PA,ACÇ PA=A,
\ BD^平面PAC 3分
(2)由(1)知:DO^平面PAC,過O作OH^PC于H,連DH,則DH^PC
則ÐDHO就是二面角A—PC—D的平面角, DO=×BD =×4="1" ,
CO=×AC=×4=3, 由RtDPAC~RtDOHC得: =,又PC= =" 8," OH=.tanÐDHO= =. 7分
(3)由VD—PBC = VP—BDC可得:h=. 10分
考點(diǎn):1.線面垂直的判定;2.二面角的求法;3.點(diǎn)到平面的距離求法
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,PO為四棱錐P﹣ABCD的高,且,E、F分別是BC、AP的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PCD;
(2)求三棱錐F﹣PCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓周上的一點(diǎn).
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;(6分)
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.(6分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PA=AB=4,G為PD的中點(diǎn),E是AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AG∥平面PEC;
(Ⅱ)求點(diǎn)G到平面PEC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱底面ABCD,,E是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明 平面EDB;
(Ⅱ)求EB與底面ABCD所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,幾何體中,四邊形為菱形,,,面∥面,、、都垂直于面,且,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).
(1)求幾何體的體積;
(2)求證:為等腰直角三角形;
(3)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖(1),等腰直角三角形的底邊,點(diǎn)在線段上,于,現(xiàn)將沿折起到的位置(如圖(2)).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若,直線與平面所成的角為,求長.
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