Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求 的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），

∴f（1）=0

令 ，則 ，

∴

（2）解：設(shè)0＜x1＜x2，則

∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0

∴

所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

（3）解：∵y=4sinx的圖象如右圖所示

又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4

由y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的圖象大致形狀如右圖所示，

由圖象在[0，2π]內(nèi)有1個(gè)交點(diǎn)，

在（2π，4π]內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，

在（4π，5π]內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，又5π＜16＜6π，

后面y=f（x）的圖象均在y=4sinx圖象的上方．

故方程4sinx=f（x）的根的個(gè)數(shù)為5個(gè)

【解析】（1）利用賦值法，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 ，即可求出 的值；（2）先在定義域內(nèi)任取兩個(gè)值x1 ， x2 ， 并規(guī)定大小，然后判定出f（x1），與f（x2）的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義可知結(jié)論；（3）分別畫(huà)出y=4sinx的圖象與y=f（x）的圖象，結(jié)合圖象以及函數(shù)的單調(diào)性判定出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．